Calcule a integral.

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t i + t cos ⁡ 2 t j + sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t k d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t i + t cos ⁡ 2 t j + sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t k d t

= ∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t d t i + ∫ 0 π 4 t cos ⁡ 2 t d t j + ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k

Passo 2

Calculando cada uma, temos:

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t d t i = sec ⁡ t i 0 π 4

= sec ⁡ π 4 - sec ⁡ 0 i

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t d t i = 2 - 1 i

Passo 3

Para calcular ∫ 0 π 4 t cos ⁡ 2 t d t j , temos que aplicar a regra da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para o nosso caso, temos que u = t e d v = cos ⁡ 2 t , logo:

d u = 1

v = ∫ cos ⁡ 2 t d v

v = sen ⁡ 2 t 2

Portanto:

∫ 0 π 4 t cos ⁡ 2 t d t j = t sen ⁡ 2 t 2 0 π 4 - ∫ 0 π 4 1 2 sen ⁡ 2 t d t

= t sen ⁡ 2 t 2 j 0 π 4 + 1 4 cos ⁡ 2 t j 0 π 4

= 1 2 ⋅ π 4 ⋅ sen ⁡ 2 π 4 + 1 4 cos ⁡ 2 π 4 - 1 4 cos ⁡ 0   j

= π 8 ⋅ 1 + 1 4 0 - 1 4 ( 1 )   j

= π 8 - 1 4   j

∫ 0 π 4 t cos ⁡ 2 t d t j = π - 2 8 j

Passo 4

Para a integral ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

sen ⁡ 2 t = u

Logo:

d u = 2 t cos ⁡ 2 t d t

Substituindo, temos:

∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k = ∫ 0 π 4 u 2 d u 2 k

Resolvendo, temos que:

∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k = ∫ 0 π 4 u 2 d u 2 k = 1 2 u 3 3 k 0 π 4

Substituindo pelo valor inicial, temos que:

∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k = 1 2 sen ⁡ 2 t 3 3 k 0 π 4

= 1 2 sen 3 ⁡ 2 t 3 k 0 π 4

= 1 2 sen 3 ⁡ 2 π 4 3 - sen 3 ⁡ 2 ( 0 ) 3 k

∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t k = 1 6 k

Passo 5

Logo, a nossa resposta para a integral será:

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t i + t cos ⁡ 2 t j + sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t k d t = 2 - 1 i + π - 2 8 j + 1 6 k

Resposta

∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan ⁡ t i + t cos ⁡ 2 t j + sen 2 ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t k d t = 2 - 1 i + π - 2 8 j + 1 6 k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados