Calcule a integral.

∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x

Passo 1

Aqui vamos fazer uma manipulação na expressão, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do denominador:

∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = ∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x ∙ 1 + sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x d x = ∫ 1 + 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x d x

Vamos usar a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 → 1 - sen 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

Assim ficamos com:

∫ 1 + 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 + 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Vamos agora separar os termos:

∫ 1 + 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 cos 2 ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ∙ 1 cos ⁡ x + tg 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + tg 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + sec 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ 2 sec 2 ⁡ x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x - 1 d x = ∫ 2 sec 2 ⁡ x d x + ∫ 2 tg ⁡ x sec ⁡ x d x + ∫ - 1 d x

Lembrando que aqui usamos a identidade: tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando quatro expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ tg ⁡ x sec ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 sec 2 ⁡ x d x + ∫ 2 tg ⁡ x sec ⁡ x d x + ∫ - 1 d x = 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x + 2 ∫ tg ⁡ x sec ⁡ x d x - x + C = 2 tg ⁡ x + 2 sec ⁡ x - x + C

Passo 3

Voltando a expressão inicial temos:

∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = ∫ 1 + 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 2 sec 2 ⁡ x d x + ∫ 2 tg ⁡ x sec ⁡ x d x + ∫ - 1 d x = 2 tg ⁡ x + 2 sec ⁡ x - x + C

Resposta

∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = 2 tg ⁡ x + 2 sec ⁡ x - x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados