Calcule a integral

∫ d u u 5 - u 2

Passo 1

Bora calcular mais uma integral?!

∫ d u u 5 - u 2

Para resolver esse problema, vamos dizer que:

u = 5 sin ⁡ θ

Diferenciando, temos que :

d u = 5 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral:

∫ d u u 5 - u 2 = ∫ 1 5 sin ⁡ θ 5 - 5 sin 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 1 5 sin ⁡ θ 5 1 - sin 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo:

∫ 1 5 sin ⁡ θ 5 1 - sin 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 5 sin ⁡ θ 5 cos 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 1 5 sin ⁡ θ 5 cos ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ = 1 5 ∫ 1 sin ⁡ θ d θ

= 1 5 ∫ csc ⁡ θ d θ = 1 5 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + c

Lembra que dissemos que :

u = 5 sin ⁡ θ

Então, temos que :

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ = 5 u

Vimos que:

5 - u 2 = 5 cos ⁡ θ

Se dividirmos tudo pelo sin ⁡ θ , podemos encontrar uma expressão para cot ⁡ θ :

5 - u 2 sin ⁡ θ = 5 cot ⁡ θ

u 5 - u 2 u 5 = 5 cot ⁡ θ

cot ⁡ θ = 5 - u 2 ⋅ 5 u ⋅ 1 5 = 5 - u 2 u

Passo 3

Agora, que encontramos uma epressão para a csc ⁡ θ e cot ⁡ θ podemos substituir:

1 5 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + c = 1 5 ln ⁡ 5 u - 5 - u 2 u + c  

Prontinhooo!

Resposta

∫ d u u 5 - u 2 = 1 5 ln ⁡ 5 - 5 - u 2 u + c  

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