Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = - y   i + x   j + 3 z   k   ,

S é o hemisfério z = 16 - x 2 - y 2   ,     y ≥ 0   , com orientação para cima.

Passo 1

Galera, aqui temos z = g x ,   y = 16 - x 2 - y 2 , e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para cima:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

onde F = P   i + Q   j + R   k = - y   i + x   j + 3 z   k . Então,

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A = ∫ ∫ D y - x 16 - x 2 - y 2 - x - y 16 - x 2 - y 2 + 3 z d A = ∫ ∫ D - x y + x y 16 - x 2 - y 2 + 3 z d A = ∫ ∫ D 3 z d A

Passo 2

Além disso, teremos D = x ,   y   x 2 + y 2 ≤ 16   ,     y ≥ 0 } , então é melhor calcular a integral em coordenadas polares:

∫ ∫ D 3 z d A = ∫ 0 π ∫ 0 4 3 16 - r 2 r   d r   d θ = 3 ∫ 0 π d θ ∫ 0 4 r 16 - r 2 d r = 3 ( π ) - 16 - r 2 3 2 3 2   .   2 0 4 = 3 π 0 + 16 16 3 = 64 π

Resposta

64 π

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Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular I =∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y = OndeS é a face da frente de TS é a face de T qu
Calcular I =∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y Onde S é a superfície exterior do cilindro x 2 + z 2 = a 2 Limitado pelos planos y =- 4 y = 4
Calcular ∫ ∫ S f → *n →d S Sendo f → = yi → - xj → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 no 1 octante com a normal apontando para fora
Calcular I =∫ ∫ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y Onde S é a superfície exterior da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,z ≥ 0
Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular I =∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y = OndeS é a face da frente de TS é a face de T qu