Enunciado

Calcular

∫ ∫ S f → *   n →   d S    

Sendo f → = y   i → - x   j → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 no 1 octante com a normal apontando para fora

Passo 1

ϕ =   ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

Sabemos que nosso g é

g   :     x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0

E que nossa função de densidade é

f = y ,   - x ,   0

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de g

∇ → g = 2 x , 2 y , 2 z

∇ → g = 4   x 2 + y 2 + z 2

Felizmente podemos substituir essa expressão pela da esfera

x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0

Assim ∇ → g   fica

∇ → g = 4   a 2

∇ → g = 2 a

Passo 3

Agora que já fizemos todas as partes pequenas, Vamos unir isso tudo na nossa integral

∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

∫ ∫ S y ,   - x ,   0 * 2 x , 2 y , 2 z 2 a   d A    

1 a ∫ ∫ S x y - x y   d A    

= 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S y ,   - x ,   0 * 2 x , 2 y , 2 z 2 a   d A = 0  

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