Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Pessoal, vamos começar calculando:

r u × r v = cos ⁡ v   i + s e n   v   j + 0   k × - u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + k

r u × r v = s e n   v   i - cos ⁡ v j + u   k

r u × r v = s e n 2   v + cos 2 ⁡ v + u 2 = 1 + u 2

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 cos 2 ⁡ v + u 2   s e n 2   v     1 + u 2   d u   d v = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v = π u + u 3 3 0 1 = 4 π 3  

Resposta

4 π 3

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Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: c )f x , y , z = 2 e σ u , v = u , v ,1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f )f x , y , z = x y ;σ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o conjunto x 2 + y 2 ≤ 2 x ,y ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: f x , y , z = z e σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: b )f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e σ é a superfície z 2 = x 2 + y 2 ,1 ≤ z ≤ 2 .
Seja f : a , b → R uma função de classe C 1 , com f u ≥ 0 em a , b . Considere a superfície de revolução σ u , v = f u cos ⁡ v , f u s e nv ,u , com a ≤ u ≤ b ,0 ≤ v ≤ 2 π . Estabeleça uma fórmula par