Enunciado

Calcule a integrais iteradas.

int_0^1 int_y^(e^y) sqrt(x) d x d y

Passo 1

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro para fora, assim:

int_0^1 (int_y^(e^y) sqrt(x) d x) d y = int_0^1 [(2)/(3) x^(3 // 2)]_y^(e^y) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

(2)/(3) int_0^1 (e^(3 y // 2) - y^(3 // 2)) d y = (2)/(3) [(2)/(3) e^(3 y // 2) - (2)/(5) y^(5 // 2)]_0^1 = (2)/(3) ((2)/(3) e^(3 // 2) - (2)/(5) - (2)/(3) e^0 + 0) = (4)/(9) e^(3 // 2) - (32)/(45)

Resposta

(4)/(9) e^(3 // 2) - (32)/(45)

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