Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 8
Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Passo 1
Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.
Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas e coordenadas retangulares são dadas da seguinte forma:
Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?
Passo 2
A primeira informação que já podemos aproveitar de cara é a de que o sólido está contido no primeiro octante. Isso se traduz pra gente da seguinte forma:
Sabendo que e que , traduzimos a informação de que a região está abaixo do paraboloide como sendo:
Show de bola, galera...Mas....o que podemos dizer a respeito da coordenada ?
Bom...Se repararmos na condição que encontramos para de que , ao analisarmos que também , devemos ter que:
Beleza...Já a nossa função que vamos integrar fica da seguinte forma:
Assim, ficamos com a seguinte integral:
Passo 3
Calculando a integral: