Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E x 3 + x y 2 d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

A primeira informação que já podemos aproveitar de cara é a de que o sólido está contido no primeiro octante. Isso se traduz pra gente da seguinte forma:

z ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está abaixo do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 como sendo:

z ≤ 1 - x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 - y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ↔ z ≤ 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ↔ z ≤ 1 - r 2

Show de bola, galera...Mas....o que podemos dizer a respeito da coordenada r ?

Bom...Se repararmos na condição que encontramos para z de que z ≤ 1 - r 2 , ao analisarmos que também z ≥ 0 , devemos ter que:

0 ≤ r ≤ 1

Beleza...Já a nossa função x 3 + x y 2 que vamos integrar fica da seguinte forma:

x 3 + x y 2 = r cos ⁡ θ 3 + r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ 2 = r 3 cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 = r 3 cos ⁡ θ

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E x 3 + x y 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 r 3 cos ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∭ E x 3 + x y 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 r 3 cos ⁡ θ r d z d r d θ ⏟ d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ 1 - r 2 d r d θ

∭ E x 3 + x y 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ d r d θ - ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 6 cos ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 r 4 d r - ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 r 6 d r

∭ E x 3 + x y 2 d V = sen ⁡ θ 0 π 2 ⏟ 1 ∙ r 5 5 0 1 ⏟ 1 5 - sen ⁡ θ 0 π 2 ⏟ 1 ∙ r 7 7 0 1 ⏟ 1 7 = 1 5 - 1 7 = 2 35

Resposta

∭ E x 3 + x y 2 d V = 2 35

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ
Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , 3 π / 4,2 ) ( 1,1 , 1 )
Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∬ E x + y + z d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )