Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ ( x 2 z + y 2 z ) d S

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 0 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Podemos reescrever a equação como z = 4 - x 2 - y 2 . Assim,

∂ z ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

∂ z ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = ( x 2 z + y 2 z ) - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = ( x 2 + y 2 ) 4 - x 2 - y 2 - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 4 4 - x 2 - y 2

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = 2 ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Portanto,

∬ ( x 2 z + y 2 z ) d S = ∬ 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

A região D é a projeção da superfície no plano x y . Portanto, D é a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 4 . Em coordenadas polares, temos:

∬ f x , y , z d s = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 ⋅ r d r d θ

∬ f x , y , z d s = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 d r d θ

∬ f x , y , z d s = 2 ∫ 0 2 π r 4 4 0 2 d θ

∬ f x , y , z d s = 2 ∫ 0 2 π 16 4 d θ

∬ f x , y , z d s = 2 16 4 ∫ 0 2 π d θ

∬ f x , y , z d s = 8 2 π = 16 π

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 16 π

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