1. ∬ S x 2 + y 2 d S , onde S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2

Passo 1

Vamo lá cara!!

Olha só, pela Definição 7.4 do livro, temos que a integral de superfície de f sobre S será:

∬ S f d s = ∬ D f φ u , v δ φ δ u × δ φ δ v d u d v

Temos que S é uma esfera dada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , vamos parametrizar ela pra resolver essa integral de superfície ai.

Vamo lá, a parametrização de uma esfera é dada por:

φ ϕ , θ = ( a sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , a sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   a cos ⁡ ϕ )

Com,

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Temos um macetezinho para achar δ φ δ u × δ φ δ v , olha só:

δ φ δ u × δ φ δ v = r 2 sen ⁡ ϕ

Em uma esfera, vai ser isso ai, ai só substituímos o raio, pro nosso caso, teremos:

δ φ δ u × δ φ δ v = a 2 sen ⁡ ϕ

Passo 2

Assim,

∬ S f d s = ∫ 0 2 π ∫ 0 π a 2 sen 2 ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) ⋅ a 2 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π a 4 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ = a 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen ⁡ ϕ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) d ϕ d θ = a 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ = 8 π a 4 3

Resposta

8 π a 4 3

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