Enunciado

  1. ∬_S (x^2 + y^2) d S , onde S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 .

Passo 1

Vamo lá cara!!

Olha só, pela Definição 7.4 do livro, temos que a integral de superfície de f sobre S será:

∬_S f d s = ∬_D f (phi (u , v)) ‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ d u d v

Temos que S é uma esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , vamos parametrizar ela pra resolver essa integral de superfície ai.

Vamo lá, a parametrização de uma esfera é dada por:

phi (varphi , theta) = ( a sen varphi cos theta , a sen varphi sen theta , a cos varphi )

Com,

0 <= varphi <= pi

0 <= theta <= 2 pi

Temos um macetezinho para achar ‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ , olha só:

‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ = r^2 sen varphi

Em uma esfera, vai ser isso ai, ai só substituímos o raio, pro nosso caso, teremos:

‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ = a^2 sen varphi

Passo 2

Assim,

∬_S f d s = int_0^(2 pi) int_0^(pi) (a^2 sen^2 varphi ( cos^2 theta + sen^2 theta) ) * a^2 sen varphi d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi) a^4 sen^3 varphi d varphi d theta = a^4 int_0^(2 pi) int_0^(pi) sen varphi ( 1 - cos^2 varphi ) d varphi d theta = a^4 int_0^(2 pi) int_0^(pi) sen varphi - sen varphi cos^2 varphi d varphi d theta = (8 pi a^4)/(3)

Resposta

(8 pi a^4)/(3)

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10 . Calcule a área de z = x 2 + y 2,x 2 + y 2 ≤ 2 x,x ≥ 1ey ≥ 0
8 . Calcule a área da parte do cone z 2=x 2+y 2 que se encontra dentro docilindro x 2+y 2≤2 x , fora do cilindro x 2+y 2≤1 e acima do plano x y .
Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x 2 + 2 y 2 que se encontra dentro do cilindro 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 1 .
Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ = t gθ , 0θπ 2 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .
Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ 2 = cos ⁡ 2 θ , - π 4 ≤ θ ≤ π 4 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .