Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 14
Calcule a integral de superfície.
é a parte da esfera que está acima do cone .
Passo 1
O exercício pede para calcularmos a integral de superfície. O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para a parte da esfera, temos
O ângulo vai rodar de a , enquanto que o ângulo vai de até . Como eu cheguei no ? Eu igualei as equações:
Portanto,
Assim,
Nesse caso,
Passo 2
Os vetores e serão
Assim,
Logo,
Portanto,
Assim,
Logo,
Passo 3
Desta forma, podemos escrever a integral como
Como as integrais são independentes:
Vamos calcular a primeira integral:
Portanto, nem precisamos fazer a segunda integral:
Resposta
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Calcular ∫ ∫ S yd S Onde S é a superfície plana x = 2 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4
Calcular ∫ ∫ S xd S Onde S é a superfície plana z - x = 2 recortada pela esfera x 2 +y 2 + z 2 = 2 z
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤