Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x y z   d S ,

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral de superfície. O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para a parte da esfera, temos

x = s e n   ϕ cos ⁡ θ ,     y = s e n   ϕ   s e n   θ ,     z = cos ⁡ ϕ

O ângulo θ vai rodar de 0 a 2 π , enquanto que o ângulo ϕ vai de 0 até π / 4 . Como eu cheguei no π / 4 ? Eu igualei as equações:

z 2 = x 2 + y 2 ⇒ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ⇒ z 2 = x 2 + y 2 = 1 2

Portanto,

z = 1 2 = 2 2 = cos ⁡ ϕ ⇒ ϕ = π 4

Assim,

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ ϕ ≤ π 4

Nesse caso,

x y z = s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ s e n   θ cos ⁡ θ

Passo 2

Os vetores r → ϕ e r → θ serão

r → θ = ∂ x ∂ θ ,   ∂ y ∂ θ ,   ∂ z ∂ θ = - s e n   ϕ   s e n   θ ,   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   0

r → ϕ = ∂ x ∂ ϕ ,   ∂ y ∂ ϕ ,   ∂ z ∂ ϕ = cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , cos ⁡ ϕ   s e n   θ ,   - s e n   ϕ

Assim,

r → θ × r → ϕ = i ^ j ^ k ^ - s e n   ϕ   s e n   θ   s e n   ϕ cos ⁡ θ 0 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ   s e n   θ - s e n   ϕ

Logo,

r → θ × r → ϕ = - s e n 2 ϕ cos ⁡ θ ,   - s e n 2   ϕ   s e n   θ ,   - s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

Portanto,

r → θ × r → ϕ = s e n 4 ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 4 ϕ   s e n 2 θ + s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

Assim,

r → θ × r → ϕ = s e n   ϕ   s e n 2 ϕ   cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ϕ = s e n   ϕ

Logo,

d S = r → θ × r → ϕ   d A = s e n   ϕ   d A = s e n   ϕ   d ϕ   d θ

Passo 3

Desta forma, podemos escrever a integral como

I = ∫ ∫ S x y z   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ s e n   θ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ   d ϕ   d θ

Como as integrais são independentes:

I = ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ   d θ ∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Vamos calcular a primeira integral:

∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π s e n   2 θ   d θ = - 1 4 cos ⁡ 2 θ 0 2 π = 0

Portanto, nem precisamos fazer a segunda integral:

I = 0

Resposta

I = 0

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Calcular ∫ ∫ S yd S Onde S é a superfície plana x = 2 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4
Calcular ∫ ∫ S xd S Onde S é a superfície plana z - x = 2 recortada pela esfera x 2 +y 2 + z 2 = 2 z
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤