Enunciado

Calcular

∫ ∫ S y   d S  

Onde S é a superfície plana x = 2   recortada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4  

Passo 1

A superfície que queremos é o plano formado pela curva abaixo e o plano z =   4 .

Isso Porque o cone z = x 2 + y 2 faz no plano x = 2 uma parábola. Logo para gente seria melhor projetar essa parte da parábola no plano x = 2

Logo nossa integral fica

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x ( y , z ) , y ,   z   1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d z d y

Passo 2

A função x que vamos retirar as derivadas parciais é da equação do cone

z = x 2 + y 2

Assim podemos escrever x como

x = z 2 - y 2

Onde as parciais são

x z = z z 2 - y 2

x y = - y z 2 - y 2

Passo 3

Vamos unir tudo na integral

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x ( y , z ) , y ,   z   1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d z d y

Como nossa função f = y , então não precisamos parametrizar. Apenas faríamos isso caso f dependesse de x.

∫ ∫ R y 1 + - y z 2 - y 2 2 + z z 2 - y 2 2 d z d y

∫ ∫ R y z 2 - y 2 + y 2 + z 2 z 2 - y 2 d z d y

∫ ∫ R y 2 z 2 z 2 - y 2 d z d y

2 ∫ ∫ R y z 1 z 2 - y 2 d z d y

Agora vamos definir os intervalos de integração. N afigura acima, vimos que no plano ZY temos uma parábola   → z = y 2 . Logo podemos escrever os intervalos de integração como

y 2 < z < 4

- 2 < y < 2

É sempre bom escolher bem a ordem de integração. NO nosso caso integrar primeiro em z faz sentido porque z cresce como uma função de y e para em z = 4 . Restando para y intervalos numéricos.

Vamos terminar de integrar

2 ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 y z 1 z 2 - y 2     d z d y

=   2 ∫ - 2 2 y   z 2 - y 2 z = y ² 4 d y

2 ∫ - 2 2 y 4 2 - y 2 - y y 2 - 1 d y

=   - 8.1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S y   d S =   - 8.1

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