Esboce a curva com equação dada.

r^2 = sen 2theta

Passo 1

O problema pede para esboçarmos a curva em coordenadas polares. Neste caso, vamos isolar r primeiro:

r = ± s e n   2 θ

Como o seno está dentro de uma raiz, devemos ter

s e n   2 θ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ 2 θ ≤ π

Portanto, θ não pode assumir qualquer valor:

0 ≤ θ ≤ π 2

Para r = s e n   2 θ , temos que para θ = 0 , r = 0 . Daí, conforme θ cresce, r vai aumentando até que para 2 θ = π / 2 ( θ = π / 4 ), r = 1 , que é seu máximo. Em seguida, r vai diminuindo até retornar para r = 0 quando θ = π / 2 :

Passo 2

Para r = - s e n   2 θ , o comportamento é o mesmo, mas como r < 0 , rebatemos para o quadrante oposto:

Juntando todos os pedaços, encontramos o esboço da curva:

Resposta

Esboço.

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