Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y   d S

S é a parte do paraboloide y = x 2 + z 2 que está dentro do cilindro x 2 + z 2 = 4

Passo 1

Galera, se a gente usar x e z como parâmetros, teremos:

r x ,   z = x   i + x 2 + z 2   j + z   k   ,                     x 2 + z 2 ≤ 4

Então,

r x × r z = i + 2 x   j + 0   k × 0   i + 2 z   j + k = 2 x   i - j + 2 z   k

E portanto,

r x × r z = 4 x 2 + 1 + 4 z 2 = 1 + 4 x 2 + z 2

Passo 2

Show! Agora podemos escrever a integral assim:

∫ ∫ S   y   d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 4   x 2 + z 2 1 + 4 x 2 + z 2 d A

Vamos tentar resolver usando coordenadas polares:

∬ x 2 + z 2 ≤ 4   x 2 + z 2 1 + 4 x 2 + z 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2     r   d r   d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r = 2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r

Passo 3

Pra resolver a última integral, vamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 + 4 r 2   ,       r 2 = 1 4 u - 1   ,     1 8   d u = r   d r

2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r = 2 π ∫ 1 17 1 4 u - 1 u   1 8   d u = π 16 ∫ 1 17 u 3 2 - u 1 2 d u = π 16 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 17 = π 16 2 5 17 2 17 - 2 3 17 17 - 2 5 + 2 3 = π 60 391 17 + 1

Resposta

π 60 391 17 + 1

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Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seUma parametrização para S .
Calcule a área das seguintes superfíciesb) Superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .
Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:b)
Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seb) A área da porção de S compreendida entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a área das seguintes superfícies c) Superfície do sólido limitado pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e a parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .