Enunciado

Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-se

  1. Uma parametrização para S .

Passo 1

Veja a figura abaixo:

Note que estamos no plano x z !! Como girarmos a curva ao redor do eixo z , então formaremos vários círculos paralelos ao plano x y de raio r , com 0 ≤ r ≤ 4 .

Passo 2

Portanto, uma boa parametrização é:

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ   ,   r 2 ,       0 ≤ r ≤ 4 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

Note que o intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π garante que percorremos cada circulo inteiramente.

Resposta

Uma parametrização é φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ   ,   r 2 ,       0 ≤ r ≤ 4 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π .

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Calcular a área da parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está no interior do paraboloide z = 2 x 2 + 2 y 2 .
Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 interior ao cilindro y 2 + z 2 = 4 z .
Encontrar a área da superfície do cilindro x 2 + z 2 = 25 limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 3 .
Determinar a área da superfície plana x + y + z = 8 delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4
Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 4