Calcule a integral:

∫ t cos sec 2 ⁡ t d t

Passo 1

Faaala ae, beleza?? Bora resolver essa integral!

Então, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar, então, a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = cos sec 2 ⁡ t d t v =   ? u = t d u =   ?

Como escolhemos isso?? Pelo macete do LIATE! Que seria para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = cos sec 2 ⁡ t d t v = ∫ cos sec 2 ⁡ t d t = - cot ⁡ t + C u = t d u =   1 d t

Devemos lembrar que cot ⁡ t ' = - cos sec 2 ⁡ t . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ t ⏟ u cos sec 2 ⁡ t d t ⏟ d v = t ⏟ u - cot ⁡ t ⏟ v - ∫ - cot ⁡ t ⏟ v 1 d t ⏟ d u

∫ t cos sec 2 ⁡ t d t = - t cot ⁡ t + ∫ cot ⁡ t d t

Passo 4

Vamos precisar achar a integral ∫ cot ⁡ t d t = ∫ cos ⁡ t sen ⁡ t d t . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

u = s en ⁡ t d u = co s ⁡ t d t   → d u cos ⁡ t = d t

A integral na variável u será uma integral imediata:

∫ cot ⁡ t d t = ∫ cos ⁡ t u d u cos ⁡ t =

= ∫ 1 u d u =

= ln ⁡ u + C = ln ⁡ s en ⁡ t + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

∫ t cossec 2 ⁡ t d t = - t cot ⁡ t + ∫ cot ⁡ t d t

= - t cot ⁡ t + ln ⁡ sen ⁡ t + C

Não pode esquecer da constante.

Prontinho!! Acabamos! 😊

Resposta

∫ t cossec 2 ⁡ t d t = - t cot ⁡ t + ln ⁡ sen ⁡ t + C

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