Calcule a integral

∫ 0 1 x - 4 x 2 - 5 x + 6   d x

Passo 1

Primeiramente, vamos fatorar a expressão abaixo.

x - 4 x 2 - 5 x + 6  

Resolvendo a equação do segundo grau no denominador:

x 2 - 5 x + 6 = 0

Então,

x = + 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 6 ⋅ 1 2 ⋅ 1

Portanto,

x = + 2 ou x = + 3

Fatorando, temos:

x 2 + 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 )

Passo 2

Voltando para nossa expressão:

x - 4 x 2 + 5 x + 6 = x - 4 ( x - 2 ) ( x - 3 )

Agora vamos separar em frações parciais. Vem comigo!

x - 4 x - 2 x - 3 = A x - 2 + B x - 3

Logo,

x - 4 x - 2 x - 3 = A x - 3 + B x - 2 x - 2 x - 3

Isto é,

x - 4 x - 2 x - 3 = x A + B - ( 3 A + 2 B ) x - 2 x - 3

Comparando os coeficientes dos denominadores:

A + B = 1 3 A + 2 B = 4

Resolvendo o sistema, temos:

A = + 2   e   B = - 1

Passo 3

Agora vamos voltar para nossa integral!

I = ∫ 0 1 x - 4 x - 2 x - 3 d x = ∫ 0 1 2 x - 2 - 1 x - 3 d x  

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Então as coisas vão ficar assim ó:

I = 2 ⋅ ln ⁡ x - 2 - 1 ln ⁡ x - 3 | 0 1

Aplicando entre os ponto 0 e 1 :

I = 2 ⋅ ln ⁡ - 1 - 1 ln ⁡ - 2 - 2 ⋅ ln ⁡ - 2 - 1 ln ⁡ - 3

I = - 3 ln ⁡ - 2 + 1 ln ⁡ - 3

I = - 3 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 3

Resposta

I = - 3 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 3

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