Enunciado

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ x x 2 + 4 x + 3   d x

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Para isso, aplicaremos a fórmula de Bhaskara à:

x 2 + 4 x + 3

E encontraremos que suas raízes são x = - 1 e x = - 3 . Logo,

x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1 ) ( x + 3 )

Sendo assim,

∫ x   x 2 + 4 x + 3 d x = ∫ x ( x + 1 ) ( x + 3 ) d x

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares . Dessa maneira, podemos utilizar o método de Heaviside para decompor x ( x + 1 ) ( x + 3 ) em frações parciais.

Como as raízes de do denominador são x = - 1 e x = - 3 . Determinamos,

A 1 = - 1 ( - 1 + 3 ) = - 1 ( 2 ) = - 1 2

Lembrando que ( x + 1 ) foi oculto do denominador.

A 2 = - 3 ( - 3 + 1 ) = - 3 ( - 2 ) = 3 2

Lembrando que ( x + 3 ) foi oculto do denominador.

Logo,

x ( x + 1 ) ( x + 3 ) = A 1 ( x + 1 ) + A 2 ( x + 3 )

= - 1 2 ( x + 1 ) + 3 2 ( x + 3 ) = - 1 2 1 x + 1 + 3 2 1 ( x + 3 )

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ - 1 2 1 x + 1 + 3 2 1 ( x + 3 ) d x

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ - 1 2 1 ( x + 1 ) d x + ∫ 3 2 1 ( x + 3 ) d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= - 1 2 ∫ 1 x + 1 d x + 3 2 ∫ 1 ( x + 3 ) d x

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= - 1 2 l n ⁡ | x + 1 | + 3 2 l n ⁡ | x + 3 |

Portanto,

∫ x x 2 + 4 x + 2   d x = - 1 2 ln ⁡ x + 1 + 3 2 ln ⁡ x + 3 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ x x 2 + 4 x + 2   d x = - 1 2 ln ⁡ x + 1 + 3 2 ln ⁡ x + 3 + C

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