Calcule a integral

∫ 0 1 x 3 + 2 x x 4 + 4 x 2 + 3 d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte: I = ∫ 0 1 x 3 + 2 x x 4 + 4 x 2 + 3 d x

Como esse denominador é meio feio, podemos fazer uma substituição de variável. Olha só:

u = x 4 + 4 x 2 + 3

Derivando,

d u = 4 x 3 + 8 x → d u = 4 ( x 3 + 2 x )

Passo 2

Como fizemos uma substituição de variável, vamos trocar os limites de integração. Logo,

x = 0 → u = 0 4 + 4 ⋅ 0 2 + 3 = 3

x = 1 → u = 1 4 + 4 ⋅ 1 2 + 3 = 8

Nossa integral era:

I = ∫ 0 1 x 3 + 2 x x 4 + 4 x 2 + 3 d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ 3 8 1 u d u 4

Isto é,

I = 1 4 ⋅ ∫ 3 8 d u u

Passo 3

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Agora vamos integrar!

I = 1 4 ⋅ ∫ 3 8 d u u

Logo,

I = 1 4 ⋅ ln ⁡ u | 3 8

Assim,

I = 1 4 ⋅ ln ⁡ 8 - l n 3  

Então,

I = 1 4 ln ⁡ 8 3

Resposta

1 4 ln ⁡ 8 3

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