Calcule a integral

∫ 1 - tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x . Então, substituindo

∫ 1 - tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - tan 2 ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - tan 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ ( cos 2 ⁡ x - tan 2 ⁡ x cos 2 ⁡ ( x ) ) d x = ∫ cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ ( cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x ) d x

Agora, precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ ( x )

Então, substituindo

∫ ( cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x ) d x = ∫ cos ⁡ 2 x d x

Seja u = 2 x , temos que d u / 2 = d x . Substituindo

∫ cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u + c = 1 2 sin ⁡ 2 x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ 1 - tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = 1 2 sin ⁡ 2 x + c

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