Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y

Passo 1

Aqui temos que a região de integração é acima do cone z = x 2 + y 2 ou z = r e abaixo do plano z = 2 .

Temos que - 2 ≤ y ≤ 2 e - 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2 descrevem uma circunferência de raio 2 no plano x y com centro em 0,0 .

Passo 2

Vamos fazer a transformação então:

E = r , θ , z | 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 2 , r ≤ z ≤ 2

Assim:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r cos ⁡ θ z   r   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r 2 cos ⁡ θ z   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ z 2 2   r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ 2 2 2 - r 2 cos ⁡ θ r 2 2 d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ 4 - r 2 d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ ∫ 0 2 4 r 2 - r 4 d r = 1 2 sen ⁡ θ 0 2 π 4 r 3 3 - r 5 5 0 2 = 1 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ 0 4 r 3 3 - r 5 5 0 2 = 1 2 0 - 0 4 r 3 3 - r 5 5 0 2 = 0

Resposta

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y = 0

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Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , acimo do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 3 + x y 2 d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E y d V , onde E é o sólido que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do plano z = x + 2 .
Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas. ( 1 ,- 1 ,4 ) ( - 1 ,- 3 , 2 )