Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E y d V , onde E é o sólido que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do plano z = x + 2 .

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 como sendo:

1 ≤ x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 4 ↔ 1 ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 2 2 ↔ 1 ≤ r ≤ 2

A informação de que a região está acima do plano x y pode ser traduzida como:

z ≥ 0

Já a informação de que a região está abaixo do plano z = x + 2 :

z ≤ x + 2 ↔ z ≤ r cos ⁡ θ + 2

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E y d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∭ E y d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r d z d r d θ ⏟ d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ + 2 r d r d θ

∭ E y d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ + 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 sen ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ ∫ 1 2 r 3 d r + 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ ∫ 1 2 r 2 d r

∭ E y d V = sen 2 ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 4 4 1 2 ⏟ 15 / 4 + 2 - cos ⁡ θ 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 3 3 1 2 ⏟ 7 / 3 = 0

Resposta

∭ E y d V = 0

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Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )
Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∬ E z d V , onde E é limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e o plano z = 4 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r
Descreva em palavras a superfície com a equação dada.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.