Enunciado

Calcule a integral tripla.

∫ ∫ ∫ E x 2 e y   d V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0   ,   x = 1 e x = - 1

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente conseguir montar a integral bonitinho, vamos primeiro visualizar um esboço da região E :

Então escrevemos a integral dessa forma:

∫ ∫ ∫ E x 2 e y d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 e y   d z   d y   d x

Passo 2

Agora vamos efetivamente calcular a integral tripla:

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 e y   d z   d y   d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 x 2 z e y 0 1 - y 2 d y   d x = ∫ - 1 1 x 2   d x ∫ - 1 1 e y - y 2 e y   d y

Passo 3

Para prosseguir, precisamos do seguinte resultado, proveniente de integração por partes:

∫ y 2 e y   d y = y 2 - 2 y + 2 e y + C

Então, continuando,

∫ - 1 1 x 2   d x ∫ - 1 1 e y - y 2 e y   d y = x 3 3 - 1 1   .   e y - y 2 - 2 y + 2 e y - 1 1 = 2 3   .   ( e - e - e - 1 + 5 e - 1 ) = 8 3 e - 1

Resposta

8 3 e

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