Enunciado

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T x y z 2 d V

Onde T é o paralelepipido retângulo 0,1   ×   0,2 ×   [ 1,3 ] .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Primeiramente vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T x y z 2 d V =   ∫ 1 3 ∫ 0 2 ∫ 0 1 x y z 2 d x d y d z

Passo 3

Agora vamos resolver sucessivamente

∫ 1 3 ∫ 0 2 ∫ 0 1 x y z 2 d x d y d z

=   ∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 2 y z 2 ​ 0 → 1 d y d z =   ∫ 1 3 ∫ 0 2 1 2 y z 2 d y d z = 1 2 ∫ 1 3 y 2 2 z 2 ​ 0 → 2 d z =   ∫ 1 3 z 2 d z

z 3 3 ​ 1 → 3 = 26 3

Resposta

26 3

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