Enunciado

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T x d V

Onde T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y 2 + z = 4 .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

A intersecao desse plano com plano xy é fazer z = 0, portanto é a reta x + y 2 = 4

Nossa superfície T é delimitada por:

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 8 - 2 x

0 ≤ z ≤ 4 - y 2 - x

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T ( x 2 + y 2 ) d V =   ∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x ∫ 0 4 - y 2 - x x d x d y d z = ∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x x 4 - y 2 - x d y d x =

∫ 0 4 4 x 8 - 2 x - x 2 8 - 2 x 2 2 - x 2 8 - 2 x d x = 64 3

Resposta

64 3

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Calculer) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x e 0 ≤ z ≤ x ⋅ y 1 3 x + y .
Calculep) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ⋅ x 2 + 9 ⋅ y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculeo) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculei) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .