Calcule

l) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 - y^2 ≤ z ≤ 1 - 2 \* y^2 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K x ⋅ ∫ x 2 - y 2 1 - 2 ⋅ y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y

Para encontrarmos o domínio em K , precisamos fazer a intersecção entre os dois limites de z , assim chegaremos que nosso K é x 2 - y 2 = 1 - 2 ⋅ y 2 → x 2 + y 2 = 1 . Aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

0 ≤ ρ ≤ 1

O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K x ⋅ z x 2 - y 2 1 - 2 ⋅ y 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K x ⋅ 1 - 2 ⋅ y 2 - x 2 + y 2 ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ ∫ K x ⋅ 1 - ( x 2 + y 2 ) ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 ρ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 1 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 cos ⁡ θ ⋅ ( ρ 2 - ρ 4 ) ⋅ d ρ ⋅ d θ = sin ⁡ θ 0 2 ⋅ π ⋅ ρ 3 3 - ρ 5 5 0 1 = 0

Resposta

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados