Enunciado

Calcule a integral tripla

∭ E x d V

Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Nessa questão aqui, o parabolóide não tá escrito de forma usual. Geralmente a gente tem a equação do tipo z = … , só que agora a nossa equação é x = 4 y 2 + 4 z 2 . Desse jeito não vai ser tão diferente do que a gente tá acostumado, mas tem que prestar atenção pra não dar mole, beleza?

Como o nosso parabolóide é paralelo ao eixo x vamos usar o sistema de coordenadas cilindricas definido da seguinte forma

x = x

y = ρ s e n θ

z = ρ cos ⁡ θ

Show ? É como se tivessemos feito uma rotação de eixos!

E o jacobiano é aquele mesmo de coordenadas cilindricas, então

d V = ρ d ρ d θ d x

Beleza! A nossa integral então vai ficar

∭ E x   ρ d ρ d θ d x

Passo 2

Agora temos que determinar os limites de integração! Só pra guiar a gente, aqui um esboço do parabolóide e do plano x = 4

Do desenho, podemos ver que x varia do paraboloide x = 4 y 2 + 4 z 2 até e x o plano x = 4 , então já temos que

4 y 2 + 4 z 2 ≤ x ≤ 4

Que, em coordenadas cilíndricas

4 y 2 + 4 z 2 = 4 y 2 + z 2 = 4 ρ 2 s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ θ

= 4 ρ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 4 ρ 2

Então:

4 ρ 2 ≤ x ≤ 4

Dessa forma, pegando o valor máximo de x

4 = 4 y 2 + 4 z 2

1 = y 2 + z 2

1 = ρ s e n θ 2 + ρ cos ⁡ θ 2 = ρ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

x = ρ 2

ρ = 1

Então vamos ter

0 ≤ ρ ≤ 1

E pela nossa figura também temos que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Show! Agora é só montar a integral!

Passo 3

A nossa integral fica assim

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 4 ρ 2 4 x d x

Resolvendo

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ x 2 2 4 ρ 2 4 d ρ =

= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ 16 2 - 16 2 ρ 4 d ρ =

= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ 16 2 1 - ρ 4 d ρ =

= 8 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ 1 - ρ 4 d ρ =

= 8 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ - ρ 5 d ρ =

Então

= 8 θ 0 2 π ρ 2 2 - ρ 6 6 0 1 =

= 8 2 π - 0 1 2 - 1 6 - 0 + 0 =

= 8 2 π 2 6 =

= 16 π 3

Show! O resultado da nossa integral será

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 4 ρ 2 4 x d x = 16 π 3

Show! Conseguimos :D

Resposta

16 π 3

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Calcule
Calculej) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e z ≥ 0 .
Calculef) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculeq) ∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .
Calculeh) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .