Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 15
Calcule a integral tripla
Onde é limitado pelo parabolóide e pelo plano
Passo 1
Opa, tudo certinho?
Nessa questão aqui, o parabolóide não tá escrito de forma usual. Geralmente a gente tem a equação do tipo , só que agora a nossa equação é . Desse jeito não vai ser tão diferente do que a gente tá acostumado, mas tem que prestar atenção pra não dar mole, beleza?
Como o nosso parabolóide é paralelo ao eixo vamos usar o sistema de coordenadas cilindricas definido da seguinte forma
Show ? É como se tivessemos feito uma rotação de eixos!
E o jacobiano é aquele mesmo de coordenadas cilindricas, então
Beleza! A nossa integral então vai ficar
Passo 2
Agora temos que determinar os limites de integração! Só pra guiar a gente, aqui um esboço do parabolóide e do plano
Do desenho, podemos ver que varia do paraboloide até e o plano , então já temos que
Que, em coordenadas cilíndricas
Então:
Dessa forma, pegando o valor máximo de
Então vamos ter
E pela nossa figura também temos que
Show! Agora é só montar a integral!
Passo 3
A nossa integral fica assim
Resolvendo
Então
Show! O resultado da nossa integral será
Show! Conseguimos :D