Calcule

f) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x^2 + y^2 <= 1 , 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K x 2 ⋅ ∫ 0 1 d z + ∫ 0 1 z 2 ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y

Onde K será o círculo dado por x 2 + y 2 ≤ 1 . Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

Como é um circulo, temos que θ irá variar de 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 ≤ ρ ≤ 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K x 2 + 1 3 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K ρ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + 1 3 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= ∫ 0 2 ⋅ π cos 2 ⁡ θ ⋅ d θ ⋅ ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ d ρ + 1 3 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 1 ρ ⋅ d ρ =

= π ⋅ 1 4 + 1 3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1 2 = π 4 + π 3 = 7 ⋅ π 12 = 7 12 ⋅ π

Resposta

∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 7 ⋅ π 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados