Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do plano com equação vetorial r → u , v = 1 + v ,     u - 2 v ,   3 - 5 u + v que é dada por 0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1 .

,

Passo 1

Para identificar qual superfície essa equação paramétrica representa, vamos determinar suas coordenadas cartesianas.

Dessa forma:

x = 1 + v y = u - 2 v z = 3 - 5 u + v

Da primeira equação temos que:

v = x - 1

E substituindo na segunda temos:

y = u - 2 . x - 1

y = u - 2 x + 2

E podemos isolar u :

u = y + 2 x - 2

Agora substituindo u   e   v em z (terceira equação) temos:

z = 3 - 5 y + 2 x - 2 + x - 1

z = 3 - 5 y - 10 x + 10 + x - 1

z = - 9 x - 5 y + 12

Mas e a área? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = - 9 x - 5 y + 12

E os limites? É no intervalo de 0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1 .

Ou seja, quando u = 0   e   v = 0 temos que x = 1 e y = 0 . Esses são os limites inferiores.

Agora os limites superiores. Quando u = 1   e   v = 1 temos x = 2   e   y = - 1

Então os limites são:

1 ≤ x ≤ 2

- 1 ≤ y ≤ 0

Então o diferencial de área vai ser d y d x e o intervalo:

1 ≤ x ≤ 2 - 1 ≤ y ≤ 0

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = - 9 x - 5 y + 12

As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 9

∂ z ∂ y = - 5

Assim temos:

1 + - 9 2 + - 5 2   = 107  

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 1 2 ∫ - 1 0 107 d y d x

A = 107 ∫ 1 2 - - 1 d x = 107 . 2 - 1 = 107

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

107

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