Determine a área da superfície.
A parte do plano com equação vetorial que é dada por
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente determine a área da superfície que é a parte do plano com equação vetorial
Sendo que e variam assim:
Repare que temos uma equação vetorial na forma:
Onde , e .
Sendo assim, a gente pode encontrar a área de superfície usando a fórmula:
Então, o que a gente vai fazer é encontrar a superfície que essa parametrização representa, calcular as derivas parciais das componentes, encontrar os limites de integração, montar nossa integral dupla e resolver para achar a área .
Vamos lá!
Passo 2
Nós vimos no passo anterior que as coordenadas cartesianas do vetor são:
Da primeira equação temos que:
E substituindo na segunda, temos:
Isolando :
Agora substituindo em (terceira equação), temos:
Simplificando:
Isso significa que temos um plano!
Passo 3
Lembra que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:
Onde a função é uma função das variáveis e , dentro da região no plano . Aqui a função é:
Agora temos que calcular as derivadas parciais:
Para , derivaremos a função em relação a e manteremos o como constante. Assim:
Para , derivaremos a função em relação a e manteremos o como constante:
Assim temos:
Passo 4
E os limites? A questão diz que o intervalo da superfície parametrizada é
Trazendo de volta as equações que achamos
Vemos que quando :
Reorganizando:
Esses são os limites inferiores.
Agora os limites superiores ocorrem quando . Assim, temos:
Reorganizando:
Então os limites são:
E o diferencial de área vai ser .
Passo 5
Agora vamos montar a integral:
Substituindo os dados que encontramos:
Como os limites de integração são constantes, tanto faz a ordem de integração.
Resolvendo para
Multiplicando os sinais:
Integrando agora em relação a :
Portanto,
Então a nossa área é:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉