Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 36
Determine a área da superfície.
A parte do plano com equação vetorial que é dada por
,
Passo 1
Para identificar qual superfície essa equação paramétrica representa, vamos determinar suas coordenadas cartesianas.
Dessa forma:
Da primeira equação temos que:
E substituindo na segunda temos:
E podemos isolar :
Agora substituindo em (terceira equação) temos:
Mas e a área? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:
Onde a função é uma função das variáveis e , dentro da região no plano .
Aqui a função é:
E os limites? É no intervalo de
Ou seja, quando temos que e . Esses são os limites inferiores.
Agora os limites superiores. Quando temos
Então os limites são:
Então o diferencial de área vai ser e o intervalo:
Passo 2
Agora temos que calcular os valores de e .
A função é:
As derivadas parciais são:
Assim temos:
Passo 3
Agora vamos montar a integral:
Beleza?
Vamos pra próxima?