Determine a área da superfície.

A parte do plano com equação vetorial r(u, v) = 〈1+v, u-2v, 3-5u+v〉 que é dada por 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine a área da superfície que é a parte do plano com equação vetorial

r → u , v = 1 + v ,   u - 2 v ,   3 - 5 u + v

Sendo que u e v variam assim:

0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1 .

Repare que temos uma equação vetorial na forma:

r → = x , y , z

Onde x = 1 + v , y = u - 2 v e z = 3 - 5 u + v .

Sendo assim, a gente pode encontrar a área de superfície usando a fórmula:

A S = ∬ 1 + ��� z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Então, o que a gente vai fazer é encontrar a superfície que essa parametrização representa, calcular as derivas parciais das componentes, encontrar os limites de integração, montar nossa integral dupla e resolver para achar a área A .

Vamos lá!

Passo 2

Nós vimos no passo anterior que as coordenadas cartesianas do vetor r → são:

x = 1 + v y = u - 2 v z = 3 - 5 u + v

Da primeira equação temos que:

v = x - 1

E substituindo na segunda, temos:

y = u - 2 ⋅ x - 1

y = u - 2 x + 2

Isolando u :

u = y + 2 x - 2

Agora substituindo u   e   v em z (terceira equação), temos:

z = 3 - 5 u + v

z = 3 - 5 y + 2 x - 2 + x - 1

z = 3 - 5 y - 10 x + 10 + x - 1

Simplificando:

z = - 9 x - 5 y + 12

Isso significa que temos um plano!

Passo 3

Lembra que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y . Aqui a função é:

z = - 9 x - 5 y + 12

Agora temos que calcular as derivadas parciais:

Para ∂ z ∂ x , derivaremos a função z em relação a x e manteremos o y como constante. Assim:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x - 9 x - 5 y + 12

∂ z ∂ x = - 9

Para ∂ z ∂ y , derivaremos a função z em relação a y e manteremos o x como constante:

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y - 9 x - 5 y + 12

∂ z ∂ y = - 5

Assim temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2  

1 + - 9 2 + - 5 2   = 107  

Passo 4

E os limites? A questão diz que o intervalo da superfície parametrizada é

0 ≤ u ≤ 1

  0 ≤ v ≤ 1

Trazendo de volta as equações que achamos

u = y + 2 x - 2

v = x - 1

Vemos que quando u = 0   e   v = 0 :

0 = y + 2 ⋅ 1 - 2

0 = x - 1

Reorganizando:

y = 0

x = 1

Esses são os limites inferiores.

Agora os limites superiores ocorrem quando u = 1   e   v = 1 . Assim, temos:

1 = y + 2 ⋅ 2 - 2

1 = x - 1

Reorganizando:

x = 2

y = - 1

Então os limites são:

1 ≤ x ≤ 2

- 1 ≤ y ≤ 0

E o diferencial de área vai ser d y d x .

Passo 5

Agora vamos montar a integral:

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Substituindo os dados que encontramos:

∫ 1 2 ∫ - 1 0 107 d y d x

Como os limites de integração são constantes, tanto faz a ordem de integração.

Resolvendo para y :

∫ 1 2 ∫ - 1 0 107 d y d x = 107 ∫ 1 2 - - 1 d x

Multiplicando os sinais:

107 ∫ 1 2 - - 1 d x = 107 ∫ 1 2 d x

Integrando agora em relação a x :

107 ∫ 1 2 d x = 107 ⋅ 2 - 1

Portanto,

107 ⋅ 1 = 107

Então a nossa área é:

A = 107

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

107

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