Calcule a integral usando integração por partes

∫ x 2 l n ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Nosso objetivo é simplificar ao máximo o trabalho na hora de fazer as contas. Dessa maneira, quando formos utilizar a integração por partes devemos pensar qual membro da integração é mais vantajoso derivar, pois lembre que derivar é mais simples do que integrar, isso significa que o membro mais complexo deve ser o que colocaremos como u .

Sendo assim, utilizando integração por partes suponha,

u = ln ⁡ x ⇒ d u = 1 x d x ,

d v = x 2 ⇒ v = x 3 3

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ x 2 l n ⁡ ( x ) d x

= ln ⁡ x . x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x  

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= x 3 3  ln ⁡ x - 1 3 ∫ x 2 d x  

= x 3 3  ln ⁡ x - 1 3 x 3 3  

= x 3 3  ln ⁡ x - 1 3 x 3 3

=     x 3 3 ln ⁡ x - 1 3

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C . Além disso, como não sabemos o intervalo em que x varia então precisamos garantir que o argumento o logaritmo seja positivo, sendo assim,

Portanto,

∫ x 2 l n ⁡ ( x ) d x =   x 3 3 ln ⁡ | x | - 1 3 + C

Resposta

∫ x 2 l n ⁡ ( x ) d x =   x 3 3 ln ⁡ | x | - 1 3 + C

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