Enunciado

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ x x 2 - 3 x + 2   d x

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Para isso, aplicaremos a fórmula de Bhaskara à:

x 2 - 3 x + 2

E encontraremos que suas raízes são x = 1 e x = 2 . Logo,

x 2 - 3 x + 2 = ( x - 1 ) ( x - 2 )

Sendo assim,

∫ x x 2 - 3 x + 2   d x = ∫ x ( x - 1 ) ( x - 2 ) d x

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares . Dessa maneira, podemos utilizar o método de Heaviside para decompor x ( x - 1 ) ( x - 2 ) em frações parciais.

Como as raízes de do denominador são x = 1 e x = 2 . Determinamos,

A 1 = 1 ( 1 - 2 ) = 1 ( - 1 ) = - 1

Lembrando que ( x - 1 ) foi oculto do denominador.

A 2 = 2 ( 2 - 1 ) = 2 ( 1 ) = 2

Lembrando que ( x - 2 ) foi oculto do denominador.

Logo,

x ( x - 1 ) ( x - 2 ) = A 1 ( x - 1 ) + A 2 x - 2

= - 1 ( x - 1 ) + 2 x - 2

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ - 1 ( x - 1 ) + 2 x - 2 d x

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ - 1 ( x - 1 ) d x + ∫ 2 x - 2 d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= - ∫ 1 ( x - 1 ) d x + 2 ∫ 1 x - 2 d x

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= - l n ⁡ | x - 1 | + 2 l n ⁡ | x - 2 |

Portanto,

∫ x x 2 - 3 x + 2   d x = - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x - 2 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ x x 2 - 3 x + 2   d x = - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x - 2 + C

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