Calcule a integral usando integração por partes

∫ c o s - 1 x 2 d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = c o s - 1 x 2 ⇒ d u = - 1 1 - x 2 2 . 1 2 d x ⇒ d u = - 1 2 1 - x 2 4 d x

⇒ d u = - 1 2 4 - x 2 4 d x ⇒ d u = - 1 2 4 - x 2 2 d x ⇒   d u = - 1 4 - x 2 d x

d v = 1 ⇒ v = x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ c o s - 1 x 2 d x

= c o s - 1 x 2 x - ∫ x   - 1 4 - x 2 d x  

= x c o s - 1 x 2 + ∫ x 4 - x 2 d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final.

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = 4 - x 2 ⇒ d u = - 2 x   d x ⇒   d x = - 1 2 x d u

Sendo assim,

∫ x 4 - x 2 d x   =   ∫   x u - 1 2 x d x  

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= - 1 2 ∫   1 u d x   = - 1 2 ∫   1 u 1 2 d x   = - 1 2 ∫   u - 1 2 d x  

= - 1 2   2 u 1 2 = - u 1 2 = - 4 - x 2

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é,

∫ x 4 - x 2 d x   = - 4 - x 2

Portanto,

∫ c o s - 1 x 2 d x = x c o s - 1 x 2 - 4 - x 2 + C

Resposta

∫ c o s - 1 x 2 d x = x c o s - 1 x 2 - 4 - x 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados