Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

12.

∫ d x x 2 x 2 - 1   d x   ,         x > 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = sec ⁡ u d x = sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u

Vamos considerar também que

s e c 2 u - 1 = t g 2 u x 2 - 1 = t g 2 u

Então nossa integral fica

∫ d x x 2 x 2 - 1   d x   = ∫ 1 sec 2 ⁡ u ⋅ t g   u sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u = ∫ 1 sec ⁡ u   d u = ∫ cos ⁡ u d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral

∫ cos ⁡ u d u = s e n   u + C

Mas s e c 2 u - 1 = t g 2 u e x = sec ⁡ u , então x 2 - 1 = s e n 2 u ⋅ x 2 , isso nos leva a

s e n   u = x 2 - 1 x

então

s e n   u + C = x 2 - 1 x + C

Resposta

x 2 - 1 x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados