Calcule a integral usando integração por partes

∫ t g - 1 ( 3 x ) d x

Passo 1

Nosso objetivo é simplificar ao máximo o trabalho na hora de fazer as contas. Dessa maneira, quando formos utilizar a integração por partes devemos pensar qual membro da integração é mais vantajoso derivar, pois lembre que derivar é mais simples do que integrar, isso significa que o membro mais complexo deve ser o que colocaremos como u .

Sendo assim, utilizando integração por partes suponha,

u = t g - 1 3 x ⇒ d u = 1 3 x 2 + 1 . ( 3 ) d x ⇒ d u = 3 9 x 2 + 1 d x ,

d v = 1 ⇒ v = x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ t g - 1 ( 3 x ) d x

= t g - 1 3 x x - ∫ x   3 9 x 2 + 1 d x  

= t g - 1 3 x x - ∫   3 x 9 x 2 + 1 d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final.

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = 9 x 2 + 1 ⇒ d u = 18 x   d x ⇒   d x = 1 18 x d u

Sendo assim,

∫   3 x 9 x 2 + 1 d x   =   ∫   3 x u 1 18 x d x   =   ∫   1 u 1 6 d x  

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

∫   1 u 1 6 d x   =   1 6 ∫   1 u d x = 1 6 l n ⁡ | u |

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é,

∫   3 x 9 x 2 + 1 d x   = 1 6 l n ⁡ | 9 x 2 + 1 |

Portanto,

∫ t g - 1 ( 3 x ) d x = t g - 1 3 x x - 1 6 ln ⁡ 9 x 2 + 1 + C

Resposta

∫ t g - 1 ( 3 x ) d x = t g - 1 3 x x - 1 6 ln ⁡ 9 x 2 + 1 + C

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