Enunciado

Calcule a integral

18. int_0^(pi // 2) sin^2 (x)/(2) cos^2 (x)/(2) d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação sin^2 u + cos^2 u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações sin^2 u = (1 - cos 2 u)/(2) e cos^2 u = (1 + cos 2 u)/(2) , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo os expoentes pares, usamos a segunda relação. Vamos ter:

int_0^(pi // 2) sin^2 (x)/(2) cos^2 (x)/(2) d x = int_0^(pi // 2) ((1 - cos x)/(2)) ((1 + cos x)/(2)) d x

Desenvolvemos o produto:

int_0^(pi // 2) ((1 - cos x)/(2)) ((1 + cos x)/(2)) d x = int_0^(pi // 2) ((1 - cos^2 x)/(4)) d x

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

(1)/(4) [int_0^(pi // 2) d x - int_0^(pi // 2) cos^2 x d x]

Passo 3

Agora resolvemos essa integrais, na ordem que estão. Não esquecendo de multiplicar por (1)/(4) no final! Teremos:

:. int_0^(pi // 2) d x = (x|_0^(pi // 2) = (pi)/(2) - 0 = (pi)/(2)

int_0^(pi // 2) cos^2 x d x

Aqui usamos de novo a segunda propriedade, que usamos no começo da resolução:

int_0^(pi // 2) cos^2 x d x = int_0^(pi // 2) ((1 + cos x)/(2)) d x

Passamos a constante pra fora da integral, separamos em duas integrais, e resolvemos na ordem em que aparecem:

int_0^(pi // 2) ((1 + cos x)/(2)) d x = (1)/(2) [int_0^(pi // 2) d x + int_0^(pi // 2) cos x d x]

:. int_0^(pi // 2) d x = (x|_0^(pi // 2) = (pi)/(2) - 0 = (pi)/(2)

:. int_0^(pi // 2) cos x d x = (sin x|_0^(pi // 2) = (sin pi // 2 - sin 0) = 1 - 0 = 1

Somamos os resultados obtidos, que são resultado da integral original. Temos:

:. int_0^(pi // 2) cos^2 x d x = (pi)/(2) + 1 = (pi + 2)/(2)

Passo 4

Já temos resolvidos todas as partes da integral, já podemos somar tudo e obter o resultado final! Lembre de multiplicar pelas frações que passamos pra fora das integrais. Vamos ter:

int_0^(pi // 2) sin^2 (x)/(2) cos^2 (x)/(2) d x = (1)/(4) [(pi)/(2) - (1)/(2) ((pi + 2)/(2))] =

= (1)/(4) [(pi)/(2) - ((pi + 2)/(4))] = (pi)/(8) - ((pi + 2)/(16)) =

(2 pi)/(16) - ((pi + 2)/(16)) = (2 pi - pi - 2)/(16) =

= (pi - 2)/(16)

Resposta

int_0^(pi // 2) sin^2 (x)/(2) cos^2 (x)/(2) d x = (pi - 2)/(16)

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