Calcule a integral

18. ∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2 e cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2 , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo os expoentes pares, usamos a segunda relação. Vamos ter:

∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 2 d x

Desenvolvemos o produto:

∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π / 2 1 - cos 2 ⁡ x 4 d x

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

1 4 ∫ 0 π / 2 d x - ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x d x

Passo 3

Agora resolvemos essa integrais, na ordem que estão. Não esquecendo de multiplicar por 1 4 no final! Teremos:

∴ ∫ 0 π / 2 d x = x 0 π / 2 = π 2 - 0 = π 2

∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x d x

Aqui usamos de novo a segunda propriedade, que usamos no começo da resolução:

∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ x 2 d x

Passamos a constante pra fora da integral, separamos em duas integrais, e resolvemos na ordem em que aparecem:

∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ 0 π / 2 d x + ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

∴ ∫ 0 π / 2 d x = x 0 π / 2 = π 2 - 0 = π 2

∴ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x = sin ⁡ x 0 π / 2 = sin ⁡ π / 2 - sin ⁡ 0 = 1 - 0 = 1

Somamos os resultados obtidos, que são resultado da integral original. Temos:

∴ ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x d x = π 2 + 1 = π + 2 2

Passo 4

Já temos resolvidos todas as partes da integral, já podemos somar tudo e obter o resultado final! Lembre de multiplicar pelas frações que passamos pra fora das integrais. Vamos ter:

∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 4 π 2 - 1 2 π + 2 2 =

= 1 4 π 2 - π + 2 4 = π 8 - π + 2 16 =

2 π 16 - π + 2 16 = 2 π - π - 2 16 =

= π - 2 16

Resposta

∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = π - 2 16

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