Calcule a integral.

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x

E supondo:

u = cos ⁡ 2 x   e   d v = e 3 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = - 2 s e n 2 x d x

E:

v = ∫ e 3 x d x

Ou seja:

v = e 3 x 3

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = cos ⁡ 2 x e 3 x 3 - ∫ e 3 x 3 - 2 s e n 2 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 3 ∫ e 3 x s e n 2 x d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = s e n 2 x   e   d v = e 3 x d x

Tal que:

d u = 2 cos ⁡ 2 x d x

E:

v = e 3 x 3

Teremos:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 3 s e n 2 x e 3 x 3 - ∫ e 3 x 3 2 cos ⁡ 2 x d x

Ou seja:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 3 1 3 e 3 x s e n 2 x - 2 3 ∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

1 + 4 9 ∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 9 e 3 x s e n 2 x + C

Logo:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = 9 13 e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 9 e 3 x s e n 2 x + C

E tirando o fator comum:

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = 1 13 e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 s e n 2 x + C

Resposta

∫ e 3 x cos ⁡ 2 x d x = 1 13 e 3 x 3 cos ⁡ 2 x + 2 s e n 2 x + C

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