Calcule a integral

30. ∫ tan 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec 2 ⁡ u = 1 + tan 2 ⁡ u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ tan 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ tan 5 ⁡ x sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

E agora aplicamos a propriedade:

∫ tan 5 ⁡ x sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = ∫ tan 5 ⁡ x ( 1 + tan 2 ⁡ x ) sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan ⁡ x e d u = sec 2 ⁡ x d x

Aplicamos na integral e vamos ter:

∫ tan 5 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = ∫ u 5 ( 1 + u 2 ) d u

Fazemos a distributiva e separamos a integral resultante em duas:

∫ u 5 1 + u 2 d u = ∫ u 5 d u + ∫ u 7 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

∴ ∫ u 5 d u = u 6 6 + C

Retornando à variável original:

u 6 6 + C = tan 6 ⁡ x 6 + C

Passo 4

∴ ∫ u 7 d u = u 8 8 + C

Retornando à variável original:

u 8 8 + C = tan 8 ⁡ x 8 + C

Somamos os resultados das duas integrais e teremos o resultado da integral original:

∫ tan 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = tan 6 ⁡ x 6 + tan 8 ⁡ x 8 + C

Resposta

∫ tan 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = tan 6 ⁡ x 6 + tan 8 ⁡ x 8 + C

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