Calcule a integral

38. ∫ tan ⁡ x sec 5 ⁡ x d x

Passo 1

Se você observar bem, com uma pequena manipulação a gente consegue resolver essa integral por substituição simples!

∫ tan ⁡ x sec 5 ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x sec 4 ⁡ x sec ⁡ x d x

Aqui, podemos denominar:

u = sec ⁡ x

d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Passo 2

Aplicamos a substituição na nossa integral:

∫ sec 4 ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ u 4 d u

Essa integral se resolve diretamente, vamos ter:

∫ u 4 d u = u 5 5 + C

Agora, só voltar à variável original. Vamos ter que:

∴ ∫ u 4 d u = ∫ tan ⁡ x sec 5 ⁡ x d x = sec 5 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ tan ⁡ x sec 5 ⁡ x d x = sec 5 ⁡ x 3 + C

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