Calcule a integral

36. ∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u - 1

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 3 ⁡ x d x

Fazemos a distributiva, separando em duas integrais:

∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 2

Nossos próximos passos serão resolver essas duas integrais. Resolvendo a primeira, na ordem que aparecem, vamos usar o método da integral por partes. Reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ sec 5 ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Vamos denominar aqui:

u = sec 3 ⁡ x

d v = sec 2 ⁡ x d x

Assim, temos:

d u = 3 sec 2 ⁡ x ∙ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = 3 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x d x

v = tan ⁡ x

Resolvemos a integral por partes a partir da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aplicamos:

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Temos agora que resolver também a integral ∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x . Pra isso, usamos a mesma propriedade trigonométrica que usamos no começo do exercício:

∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Agora, substituímos ∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x por ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x na sentença acima que obtivemos:

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 5 ⁡ x d x + 3 ∫ sec 3 ⁡ x d x

Rearrumando tudo isso, no fim das contas temos:

4 ∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 ∫ sec 3 ⁡ x d x

Assim, nos resta calcular, também pelo método da integral por partes, a integral ∫ sec 3 ⁡ x d x .

Passo 3

Temos a integral:

∫ sec 3 ⁡ x d x

Reescrevemos ela da seguinte maneira:

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Fazemos o mesmo esquema, mas usando letras diferentes, a e b :

Temos:

a = sec ⁡ x

d b = sec 2 ⁡ x d x

Portanto, teremos:

d a = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

b = tan ⁡ x

Escrevemos a integral no molde que já sabemos:

∫ a d b = a b - ∫ b d a

Vamos ter:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x d x

Nisso, precisamos resolver a integral ∫ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x d x . Essa é uma integral que se resolve por substituição simples. Temos:

u = tan ⁡ x

d u = sec 2 ⁡ x d x

Reescrevemos a sentença:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ u d u

A integral ∫ u d u se resolve diretamente, e tem como resposta:

∫ u d u = u 2 2 = tan 2 ⁡ x 2

Agora rescrevemos de novo, com o resultado da integral:

∴ ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x 2

Passo 4

Tendo o resultado pra ∫ sec 3 ⁡ x d x , voltamos ao passo 2 e continuamos a resolver. Tínhamos parado em:

4 ∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 ∫ sec 3 ⁡ x d x

Já com o resultado pra ∫ sec 3 ⁡ x d x , escrevemos:

4 ∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 sec ⁡ x tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x 2

Agora só fazer os ajustes necessários e temos como resposta:

∴ ∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 sec ⁡ x tan ⁡ x 4 - 3 tan 2 ⁡ x 8

Passo 5

Nesse passo, resolveríamos a segunda integral que obtivemos no final do passo 1, mas já calculamos ela no passo 3, e o resultado foi:

∴ ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x 2

Assim, tendo o resultado das duas integrais que precisávamos calcular, temos como resposta:

∴ ∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 sec ⁡ x tan ⁡ x 4 - 3 tan 2 ⁡ x 8 + sec ⁡ x tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x 2

Resposta

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 sec ⁡ x tan ⁡ x 4 - 3 tan 2 ⁡ x 8 + sec ⁡ x tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x 2

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