Enunciado

Seja A uma matriz quadrada. Prove que, se houver duas matrizes B e C tais que A B = I e C A = I , então B = C . Desse modo, se a matriz tiver inversa, ela só poderá ter uma.

Passo 1

Imagine três matrizes: A = a 11 a 12 a 21 a 22 , B = b 11 b 12 b 21 b 22 e C = c 11 c 12 c 21 c 22

Vamos usá-las para provar que a matriz A só tem uma inversa. Tudo bem???

Para isso, vamos igualar as duas multiplicações A B = I e C A = I . Assim, devemos chegar a um sistema cuja solução será B = C . Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar pela multiplicação A B :

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = 1 0 0 1

Vamos agora à multiplicação C A :

C A = c 11 c 12 c 21 c 22 a 11 a 12 a 21 a 22 =

c 11 a 11 + c 12 a 21 c 11 a 12 + c 12 a 22 c 21 a 11 + c 22 a 21 c 21 a 12 + c 22 a 22 = 1 0 0 1

Ficamos então com o sistema:

a 11 b 11 + a 12 b 21 = 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 = 0 a 21 b 11 + a 22 b 21 = 0 a 21 b 12 + a 22 b 22 = 1 c 11 a 11 + c 12 a 21 = 1 c 11 a 12 + c 12 a 22 = 0 c 21 a 11 + c 22 a 21 = 0 c 21 a 12 + c 22 a 22 = 1

Vamos começar usando a segunda linha para deixar a 11 em função de a 12 :

a 11 b 12 + a 12 b 22 = 0

a 11 = - a 12 b 22 b 12

Substituindo na primeira equação:

a 11 b 11 + a 12 b 21 = 1

- a 12 b 22 b 12 b 11 + a 12 b 21 = 1

a 12 b 12 b 21 - b 11 b 22 = b 12

a 12 = b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22

Então

a 11 = - a 12 b 22 b 12

a 11 = - b 22 b 12 x b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22

a 11 = - b 22 b 12 b 21 - b 11 b 22

Passo 3

Indo para a terceira equação:

a 21 b 11 + a 22 b 21 = 0

a 21 = - a 22 b 21 b 11

Substituindo a 21 na quarta equação:

a 21 b 12 + a 22 b 22 = 1

- a 22 b 21 b 11 b 12 + a 22 b 22 = 1

a 22 b 11 b 22 - b 12 b 21 = b 11

a 22 = b 11 b 11 b 22 - b 12 b 21

Então

a 21 = - a 22 b 21 b 11

a 21 = - b 21 b 11 x b 11 b 11 b 22 - b 12 b 21

a 21 = - b 21 b 11 b 22 - b 12 b 21

Vamos partir para as próximas quatro equações:

c 11 a 11 + c 12 a 21 = 1 c 11 a 12 + c 12 a 22 = 0 c 21 a 11 + c 22 a 21 = 0 c 21 a 12 + c 22 a 22 = 1

c 11 - b 22 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 12 - b 21 b 11 b 22 - b 12 b 21 = 1 c 11 b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 12 b 11 b 11 b 22 - b 12 b 21 = 0 c 21 - b 22 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 22 - b 21 b 11 b 22 - b 12 b 21 = 0 c 21 b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 22 b 11 b 11 b 22 - b 12 b 21 = 1

- c 11 b 22 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 12 b 21 b 12 b 21 - b 11 b 22 = 1 c 11 b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22 - c 12 b 21 b 12 b 21 - b 11 b 22 = 0 - c 21 b 22 b 12 b 21 - b 11 b 22 + c 2 2 b 21 b 12 b 21 - b 11 b 22 = 0 c 21 b 12 b 12 b 21 - b 11 b 22 - c 2 2 b 21 b 12 b 21 - b 11 b 22 = 1

c 12 b 21 - c 11 b 22 = b 12 b 21 - b 11 b 22 c 11 b 12 - c 12 b 21 = 0 c 22 b 21 - c 21 b 22 = 0 c 21 b 12 - c 22 b 21 = b 12 b 21 - b 11 b 22

Se fizermos c 11 = b 11 , c 12 = b 12 , c 21 = b 21 e c 22 = b 22 podemos verificar que esta é solução do sistema e, portanto, B = C .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se A = 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 e B = 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 , encontre(a) 2 A + B (b) A - 4 B (c) A B (d) B A
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular: 1 - 1 2 0 - 1 2 - 4 2 1 0 1 3 - 2 2 0 - 1
Se A ( t ) = e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t e B ( t ) = 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t , encontre(a) A + 3 B (b) A B (c) d A / d t (d) ∫ 0 1
Prove cada uma das propriedades, a seguir, da álgebra de matrizes:(a) A + B = B + A (b) A + B + C = A + B + C (c) α A + B = α A + α B (d) α + β A = α A + β A (e) A B C = A B C (f) A B + C = A B + A C