Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 2 3 2 4 5 3 5 6

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 1 2 3 2 4 5 3 5 6 =

1 2 3 2 4 5 3 5 6 =

1 x 4 x 6 + 2 x 5 x 3 + 3 x 2 x 5 - 3 x 4 x 3 - 5 x 5 x 1 - 6 x 2 x 2 = - 1

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 2 3 2 4 5 3 5 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 2 3 2 4 5 3 5 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:

1 2 3 0 0 - 1 3 5 6 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Agora iremos multiplicar a primeira linha por 3 e então, subtrair da terceira linha:

1 2 3 0 0 - 1 0 - 1 - 3 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1

Vamos agora inverter a segunda linha e a terceira linha:

1 2 3 0 - 1 - 3 0 0 - 1 1 0 0 - 3 0 1 - 2 1 0

Nosso próximo passo será multiplicar a segunda e a terceira linha por -1:

1 2 3 0 1 3 0 0 1 1 0 0 3 0 - 1 2 - 1 0

Iremos agora multiplicar a segunda linha por 2 e subtrair na primeira linha. Ficamos então com:

1 0 - 3 0 1 3 0 0 1 - 5 0 2 3 0 - 1 2 - 1 0

Vamos agora multiplicar a terceira linha por 3 e somar na primeira linha:

1 0 0 0 1 3 0 0 1 1 - 3 2 3 0 - 1 2 - 1 0

Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por 3 e subtrair da segunda linha. Ficamos com:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 3 2 - 3 3 - 1 2 - 1 0

Então, a matriz inversa é:

1 - 3 2 - 3 3 - 1 2 - 1 0

Resposta

A matriz inversa é:

1 - 3 2 - 3 3 - 1 2 - 1 0

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