Enunciado

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (f (x) - f (p))/(x - p) onde f (x) = (1)/(x)

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir as funções f (x) = (1)/(x) e f (p) = (1)/(p) no limite:

underset(x -> p)(lim) (f (x) - f (p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((1)/(x) - (1)/(p))/(x - p)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor p na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

underset(x -> p)(lim) ((1)/(x) - (1)/(p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((p - x)/(p x))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((p - x)/(p x)) * ((1)/(x - p))

Vamos multiplicar e dividir a expressão por - 1 , pois assim teremos x - p tanto no numerador quanto no denominador e vamos poder eliminar essa expressão:

underset(x -> p)(lim) ((p - x)/(p x)) * ((1)/(x - p)) * ((- 1)/(- 1)) = underset(x -> p)(lim) ((- p + x)/(- p x)) * ((1)/(x - p)) = underset(x -> p)(lim) ((1)/(- p x)) * ((1)/(1)) = underset(x -> p)(lim) - (1)/(p x)

Pronto, agora é simples, só substituir o valor p na expressão:

underset(x -> p)(lim) - (1)/(p x) = - (1)/(p * p) = - (1)/(p^2)

Resposta

underset(x -> p)(lim) ((1)/(x) - (1)/(p))/(x - p) = - (1)/(p^2)

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