Calcule.

lim x → p ⁡ f x - f p x - p onde f(x) = 1 / x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir as funções f x = 1 x e f p = 1 p no limite:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p = lim x → p ⁡ 1 x - 1 p x - p

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor p na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

lim x → p ⁡ 1 x - 1 p x - p = lim x → p ⁡ p - x p x x - p = lim x → p ⁡ p - x p x ∙ 1 x - p

Vamos multiplicar e dividir a expressão por - 1 , pois assim teremos x - p tanto no numerador quanto no denominador e vamos poder eliminar essa expressão:

lim x → p ⁡ p - x p x ∙ 1 x - p ∙ - 1 - 1 = lim x → p ⁡ - p + x - p x ∙ 1 x - p = lim x → p ⁡ 1 - p x ∙ 1 1 = lim x → p ⁡ - 1 p x

Pronto, agora é simples, só substituir o valor p na expressão:

lim x → p ⁡ - 1 p x = - 1 p ∙ p = - 1 p 2

Resposta

lim x → p ⁡ 1 x - 1 p x - p = - 1 p 2

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