Estude o sinal da expressão.

(x - 1) / (x - 2)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente estudar o sinal da expressão, isso quer dizer que ele quer saber onde essa função é positiva, onde ela é negativa e quais são os zeros (as raízes) da função.

Então, vamos analisar três situações, quando a expressão toda é maior que zero, quando é menor que zero e quando é igual a zero. Pra isso, vamos verificar o sinal do numerador e do denominador separadamente, para que o resultado satisfaça a expressão que desejamos, que no caso são:

Para maior que zero:

x - 1 x - 2 > 0

Para menor que zero:

x - 1 x - 2 < 0

E para igual a zero:

x - 1 x - 2 = 0

Passo 2

Para x - 1 temos o seguinte esquema:

Repare que 1 é uma raiz de x - 1 , então a expressão assume valores negativos quando x < 1 (antes da raiz) e assume valores positivos quando x > 1 (depois da raiz).

Agora para o denominador, x - 2 , temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Beleza, mas o que isso quer dizer? Nossa primeira condição é que x - 1 x - 2 > 0 , ou seja, o quociente seja positivo. Então, com base nos sinais que vimos nos termos do numerador e denominador, vamos construir nosso quadro de sinais:

Repare que a nossa função é positiva para x < 1 e para x > 2 , ou seja, x - 1 x - 2 > 0 no intervalo:

- ∞ ,   1 ∪ ( 2 ,   ∞ )

Passo 3

A mesma análise que fizemos no passo 2 , serve para verificar o que acontece quando a nossa expressão geral é menor do que zero (negativa). Então, vamos olhar de novo para o quadro de sinais que construímos:

Repare que a nossa função só é negativa (ali na última linha da tabela), quando x tá entre 1 e 2 . Isso quer dizer que para x - 1 x - 2 < 0 , temos:

1 < x < 2

Ou, na notação de intervalo, ( 1 ,   2 ) .

Passo 4

Por fim, vamos resolver a equação pra quando nossa função é igual a zero:

x - 1 x - 2 = 0

Como o denominador nunca pode zerar, para que esse quociente seja zero, precisamos que a expressão do numerador seja igual a zero. Assim temos:

x - 1 = 0 → x = 1

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x - 1 x - 2 > 0 para x < 1 ou x > 2

x - 1 x - 2 < 0 para 1 < x < 2

x - 1 x - 2 = 0 para x = 1 e não está definida para x = 2

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