Enunciado

Calcule

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1) quando x se aproxima de 1 .

Repare que substituindo x = 1 na função, temos uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Para calcular esse limite vamos fazer uma substituição para mudar um pouco a cara da nossa função e resolvê-la! Assim, vamos chamar o que está dentro da raiz de u :

u = x^2 + 3

-> x^2 = u - 3

Vamos então definir esse novo limite:

(sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1) = (sqrt(u) - 2)/(u - 3 - 1) = (sqrt(u) - 2)/(u - 4)

Se a gente mudou a variável na função, também vamos mexer no limite. Se x -> 1 , vamos ver para onde u vai tender:

1^2 = u - 3

-> u = 1 + 3 -> u = 4

Assim para x -> 1 temos u -> 4 e o nosso limite fica assim:

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1) = underset(u -> 4)(lim) (sqrt(u) - 2)/(u - 4)

Passo 3

Ficamos com esse limite para resolver que também vai cair em uma indeterminação:

underset(u -> 4)(lim) (sqrt(u) - 2)/(u - 4)

Então, vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do numerador, que seria a expressão (sqrt(u) + 2) :

underset(u -> 4)(lim) (sqrt(u) - 2)/(u - 4) = underset(u -> 4)(lim) ((sqrt(u) - 2)/(u - 4)) * ((sqrt(u) + 2)/(sqrt(u) + 2))

Vamos agora simplificar a expressão:

= underset(u -> 4)(lim) ((sqrt(u))^2 + (2 sqrt(u)) - (2 sqrt(u)) - 4)/((u - 4) (sqrt(u) + 2))

= underset(u -> 4)(lim) (u - 4)/((u - 4) (sqrt(u) + 2))

= underset(u -> 4)(lim) (1)/(sqrt(u) + 2)

Pronto, agora fica simples de calcular o limite, só é necessário substituir o valor 4 na expressão e pronto:

underset(u -> 4)(lim) (1)/(sqrt(u) + 2) = (1)/(sqrt(4) + 2)

= (1)/(2 + 2)

= (1)/(4)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1) = (1)/(4)

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