Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) [sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3)]

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse limite vamos multiplicar e dividir a expressão do limite pelo conjugado de sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3) :

underset(x -> + oo)(lim) [sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3)] = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3)) (sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)))/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x + 1))^2 + sqrt(x + 1) * sqrt(x + 3) + sqrt(x + 1) * sqrt(x + 3) - (sqrt(x + 3))^2)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) (x + 1 - (x + 3))/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) (x + 1 - x - 3)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) (- 2)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3))

Agora vamos usar a propriedade da divisão e da soma:

underset(x -> + oo)(lim) (- 2)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = (underset(x -> + oo)(lim) - 2)/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 1) + sqrt(x + 3)) = (underset(x -> + oo)(lim) - 2)/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 1) + underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 3))

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separamente.

Passo 2

Primeiro no numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) - 2 = - 2

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 1) = + oo

E no segundo limite temos:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 3) = + oo

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) [sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3)] = (underset(x -> + oo)(lim) - 2)/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 1) + underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x + 3)) = (- 2)/(oo + oo) = (- 2)/(oo) = 0

Lembre que (k)/(+- oo) = 0 , onde k é uma constante.

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [sqrt(x + 1) - sqrt(x + 3)] = 0

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