Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2

Observe que nós temos x tendendo a 16 e queremos saber pra qual valor a função f x = 4 - x 16 x - x 2 vai se aproximar quando isso acontece.

Se a gente simplesmente substituir x = 16 na função, vamos ter:

4 - 16 16 ( 16 ) - ( 16 ) 2 = 0 0

Ou seja, teremos uma indeterminação.

Então, o que nós precisamos fazer é encontrar uma forma de simplificar essa função pra que a gente consiga aplicar o limite sem cair em uma indeterminação.

Como temos o termo 4 - x no numerador, é uma boa ideia multiplicarmos a fração pelo conjugado 4 + x . Dessa forma, vamos fazer aparecer a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

E conseguiremos simplificar a nossa função e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando a fração pelo conjugado do numerador:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 ⋅ 4 + x 4 + x

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos do numerador:

lim x → 16 ⁡ 4 ∙ 4 + 4 x - 4 x - x ∙ x ( 16 x - x 2 ) ∙ ( 4 + x )

Simplificando:

lim x → 16 ⁡ 16 - x ( 16 x - x 2 ) ∙ ( 4 + x )

Colocando x em evidência no denominador:

lim x → 16 ⁡ 16 - x x ( 16 - x ) ∙ ( 4 + x )

E simplificando novamente:

lim x → 16 ⁡ 1 x ( 4 + x )

Agora não temos mais indeterminação, então podemos aplicar o limite:

= 1 16 ∙ 4 + 16

= 1 16 ∙ 4 + 4

Logo, temos:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 = 1 128

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 = 1 128

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.22) underset(h - 0)(lim) (sqrt(1 + h) - 1)/(h)
Calcule o limite, se existir.23) x + 2 - 3 x - 7
Calcule o limite, se existir.27) lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 ²
Ache o limite, se existir.underset(x - 5)(lim) (sqrt(x - 1) - 2)/(x - 5)
Ache o limite, se existir.underset(s - 7)(lim) (5 - sqrt(4 + 3 s))/(7 - s)