Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1  

Passo 1

Nessa questão se aplicarmos o limite direto chegamos em uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1 = ∞ - ∞

Então para resolver essa questão vamos ter que mexer um pouco na função a fim de simplicar.

Para isso vamos aplicar algumas propriedades de log.

Passo 2

Vamos começar mexendo na nossa segunda expressão e colocar 3 x em evidência:

ln ⁡ 3 x + 1 = l n 3 x ( 1 + 3 - x )

Ai aqui podemos separar usando a regra,

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

Aplicando para nossa função,

l n 3 x 1 + 3 - x = ln ⁡ 3 x + ln ⁡ 1 + 3 - x

E agora vamos usar

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Então a nossa função fica assim,

ln ⁡ 3 x + 1 = x   l n 3 + l n ⁡ ( 1 + 3 - x )

Passo 3

Reescrevendo nosso limite, ficamos com,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - x   l n 3 + l n ⁡ ( 1 + 3 - x )  

Podemos separar em dois limites,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - x ln ⁡ 3   - lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( 1 + 3 - x )

Temos que o segundo limite, vai para zero

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( 1 + 3 - x ) = ln ⁡ 1 = 0

Já a primeiro limite, podemos reescrever assim,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - x   l n 3   = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

Como ln ⁡ 3   > ln ⁡ 2 o que tá multiplicando x é negativo. Como só sobrou x no nosso limite, vamos ter um limite indo pra - ∞ , beleza?

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 = - ∞

Juntando tudo, temos que,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - x ln ⁡ 3   - lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( 1 + 3 - x ) = - ∞ - 0

Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1   = - ∞

Show! :D

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 x + 1   = - ∞

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