Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x → a ⁡ f x = L . Determine um número delta para o epsilon dado tal que |f(x) - L| < epsilon sempre que 0 < |x-a| < delta . Dar exemplos de dois outros números positivos para delta , que também satisfazem a implicação dada.

lim x → 5   1 2 - x   ��� = - 1 3 ,         ε = 0,25

Passo 1

Opa! Tranquilinho??

A questão nos deu esse limite já conhecido:

lim x → 5   1 2 - x   ⁡ = - 1 3

Ela também fornece um valor específico ε = 0,25 , que representa a tolerância máxima de erro na saída da função, ou seja, o quão perto o valor de 1 2 - x precisa estar de - 1 3 .

O que ela quer é que encontremos um número positivo δ tal que:

1) Sempre que o x estiver suficientemente perto de 5 (mas sem ser exatamente 5 , porque o limite não considera x = 5 ), ou seja:

0 < x - 5 < δ

2) Isso garante que a saída da função 1 2 - x estará suficientemente perto do valor do limite - 1 3 , dentro do erro máximo permitido ε = 0,25 , ou seja:

1 2 - x + 1 3 < 0,25

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Podemos reescrever o primeiro módulo da seguinte maneira a fim de simplifica-lo:

1 2 - x + 1 3 = 3 + 2 - x 3 2 - x

= 5 - x 3 2 - x ,   x ≠ 2

Então podemos reescrever que:

5 - x 3 2 - x ,   < ε   s e m p r e   q u e   0 < x - 5 < δ

Passo 3

Supondo que 0 < δ ≤ 1 , da desigualdade 0 < x - 5 < δ , segue que:

x - 5 < 1 ⇒ - 1 < x - 5 < 1 ∴

x - 5 < 1 ⇒ 4 < x < 6

Manipulando, temos:

2 < x - 2 < 4 ⇒ 2 < x - 2 < 4 ∴

2 < x - 2 < 4 ⇒ 1 2 > 1 x - 2 > 1 4

Portanto, podemos escrever que:

1 2 - x + 1 3 = x - 5 3 x - 2 ∴

= 1 3 1 x - 2 x - 5 < 1 3 ⋅ 1 2 x - 5 = 1 6 | x - 5 |

Passo 4

Queremos:

x - 5 6 < 0,25 ∴

x - 5 < 1,5

Como assumimos que δ ≤ 1 , o δ escolhido é:

δ = min ⁡ 6 ⋅ 0,25 ; 1

δ = min ⁡ 1,5   ; 1 = 1

Passo 5

Assim, dois outros valores possíveis para δ são:

1) δ = 0,5 , pois:

x - 5 < 0,5

O que implica em:

1 2 - x + 1 3 < 0,5 6 ∴

0,0833 < 0,25

E o outro valor seria:

2) δ = 0,75 , pois, de forma análoga:

x - 5 < 0 , 75

1 2 - x + 1 3 < 0 , 7 5 6 ∴

0 , 125 < 0,25

Resposta

δ = 1

δ = 0,5

δ = 0,75

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