Enunciado

Calcule o limite, se existir.

16) underset(x -> - 1)(lim) (x ² - 4 x)/(x ² - 3 x - 4)

Passo 1

Olá, meu parceiro. Vamos dar o início a mais uma resolução.

Aqui queremos resolver o limite da função dada quando nos aproximamos de x -> - 1 , ou iremos mostrar que esse limite não existe e explicar o porquê dele não existir.

Veja que para que o limite

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

De uma função exista, temos que satisfazer a condição:

underset(x -> a^+)(lim) f ( x ) = L = underset(x -> a^-)(lim) f ( x ) = L

Isso é, os limites laterais da função devem ser iguais.

Seja a nossa função a

f (x) = (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4)

  • Por conta da função não estar definida em f ( - 1 ) , pois - 1 é raiz do seu denominador, não podemos apenas substituir x = - 1 como em outros casos;
  • A estratégia aqui é reescrevermos a função, simplificarmos a função e aí sim calcularmos os seus limites laterais;
  • Casos eles sejam iguais, temos o nosso limite, caso sejam distintos, nosso limite não existe.

Passo 2

Primeiro então vamos reescrever o nosso numerador:

x^2 - 4 x = x (x - 4)

Agora vamos reescrever o denominador:

x^2 - 3 x - 4

Para isso vamos encontrar as raízes dele:

Delta = 9 - 4 (1) (- 4)

Delta = 25

x = (3 +- 5)/(2)

x^' = 4

x^(' ') = - 1

Agora sim, vamos reescrever:

(x + 1) (x + 4)

Dessa forma, temos:

f (x) = (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4) = (x ( x - 4 ))/(( x + 1 ) ( x - 4 ))

f (x) = (x)/(x + 1)

Agora vamos ao cálculo do limite lateral direito:

underset(x -> - 1^+)(lim) (x)/(x + 1) = - oo

Este limite tende a valores MUITOOOOO grandes negativos quando nos aproximamos de - 1 por valores infinitesimalmente maiores que - 1 .

Agora vamos ao cálculo do limite lateral esquerdo:

underset(x -> - 1^-)(lim) (x)/(x + 1) = oo

Este limite tende a valores MUITOOOOO grandes positivos quando nos aproximamos de - 1 por valores infinitesimalmente menores que - 1 .

Vimos então que os limites laterais são diferentes, sendo assim o limite não existe.

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) (x ² - 4 x)/(x ² - 3 x - 4) = n ã o e x i s t e !

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