Enunciado

Determine o limite infinito.

underset(x -> pi^-)(lim) cot x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que determinemos o seguinte limite infinito:

underset(x -> pi^-)(lim) cot x

Lembrando que a cotangente é dada pela razão do cosseno pelo seno (que é o inverso da tangente).

Em outras palavras, podemos reescrever os eguinte limite:

underset(x -> pi^-)(lim) (cos x)/(sin x)

Em outras palavras, a questão nos diz que esse limite é infinito, ou seja, ele diverge. Mas queremos saber se irá divergir para + oo ou - oo .

Para isso, temos que aplicar o x -> pi^- no numerador e no denominador para verificarmos se estes apresentarão resultados positivos ou negativos.

Agora bora colocar isso em prática!! 😉

Passo 2

Aplicando primeiramente ao numerador, temos que:

underset(x -> pi^-)(lim) cos x tildetilde cos pi = - 1

Ou seja, o numerador tenderá para um número negativo. Aqui, o fato de x -> pi pelos números à esquerda não faz diferença no resultado.

E para o denominador temos que:

underset(x -> pi^-)(lim) sin x

Aqui, o fato de x -> pi pelos números à esquerda faz diferença no resultado.

Perceba que se fizermos um número ligeiramente menor do que pi , o seno tenderá a zero pelos números positivos. Veja a seta verde no círculo trigonométrico da função seno:

Assim, resultaremos em um número positivo próximo de zero.

Portanto, o denominador é um valor positivo que se aproxima de 0 . Assim, temos que:

underset(x -> pi^-)(lim) (1)/(sin x) = oo

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto para o limite, obtemos por fim que:

underset(x -> a)(lim) [f (x) xx g (x)] = underset(x -> a)(lim) f (x) xx underset(x -> a)(lim) g (x)

underset(x -> pi^-)(lim) (cos x)/(sin x) = underset(x -> pi^-)(lim) cos x xx underset(x -> pi^-)(lim) (1)/(sin x) :.

underset(x -> pi^-)(lim) (cos x)/(sin x) = - 1 * oo :.

underset(x -> pi^-)(lim) (cos x)/(sin x) = - oo

Resposta

- oo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) (x^3 + x^2)/(3 x^3 + x^4 + x)
Calcule. lim h → 0 ⁡ x 2 + 3 x h
Calcule.underset(x - p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/(x - p) (p != 0)
Calcule.underset(x - 3)(lim) (x^2 - 9)/(x^2 + 9)